平面图中独立集重构的线性核

给定正整数 $r$ 及 $K_{3,r}$-minor-free 图 $G$。设 $I_s$ 和 $I_t$ 是 $G$ 中两个大小为 $k$ 的独立集。我们在 $I_s$ 的每个顶点上放置一个“令牌”，并通过重复“令牌跳跃”（从一个顶点移除一个令牌并将其放置在另一个顶点上），试图将所有令牌移至 $I_t$。我们要求令牌的每个中间排列再次指定一个大小为 $k$ 的独立集。给定 $G$、$I_s$ 和 $I_t$，我们询问是否存在一系列令牌跳跃将 $I_s$ 转换为 $I_t$。当 $k$ 作为输入的一部分时，该问题已知是 PSPACE-完全的。然而，Ito、Kami\'nski 和 Ono (2014) 证明了它是固定参数可解的。即当 $k$ 固定时，该问题可以在 $G$ 的阶数的多项式时间内解决。这里我们通过证明该问题具有关于 $k$ 线性大小的核，从而加强了关于运行时间的上界。更精确地说，我们将 $K_{3,r}$-minor-free 图上的任意输入问题转换为在阶数为 $O(k)$ 的（$K_{3,r}$-minor-free）图上的等价问题。这正面回答了 Bousquet、Mouawad、Nishimura 和 Siebertz (2024) 的问题，并改进了 Cranston、M\"{u}hlenthaler 和 Peyrille (2024+) 的近期二次核。对于平面图，我们进一步强化了这一上界，得到了大小至多为 $42k$ 的核。