排列中层级面数之间的线性关系

我们研究排列中层级面数之间的线性关系。设 $V = \{ v_1, \ldots, v_n \} \subset \mathbf{R}^{r}$ 为一般位置上的向量配置，并设 $\mathcal{A}(V)$ 为 $d$ 维单位球面 $S^d$ 上半球面的极对偶排列，其中 $d=r-1$。对于 $0\leq s \leq d$ 和 $0 \leq t \leq n$，令 $f_{s,t}(V)$ 表示排列 $\mathcal{A}(V)$ 中层级为 $t$、维度为 $d-s$ 的面数（这些面对应于由线性超平面划分的 $V=V_-\sqcup V_0 \sqcup V_+$，其中 $|V_0|=s$ 且 $|V_-|=t$）。我们将矩阵 $f(V):=[f_{s,t}(V)]$ 称为 $V$ 的 $f$-矩阵。完成关于排列中层级面数之间线性关系的长期研究后，我们确定了对于每个 $n\geq r \geq 1$，由 $\mathbf{R}^r$ 中一般位置上 $n$ 个向量配置的 $f$-矩阵张成的仿射空间 $\mathfrak{F}_{n,r}$；此外，我们还确定了由所有尖点向量配置（即 $V$ 包含在某个开线性半空间中）张成的子空间 $\mathfrak{F}^0_{n,r} \subset \mathfrak{F}_{n,r}$，这些配置对应于 $\mathbf{R}^d$ 中的点集。这推广了 Dehn–Sommerville 关系生成简单多面体（层级 $0$ 的面）面数之间所有线性关系的经典事实，并回答了 Andrzejak 和 Welzl 在 2003 年提出的问题。我们结果陈述和证明的关键概念是向量配置的 $g$-矩阵，它决定了 $f$-矩阵并推广了经典的多面体 $g$-向量。通过 Gale 对偶，我们还获得了关于非平凡线性依赖的符号模式划分向量配置以及 $\mathbf{R}^d$ 中点集的 Radon 划分的类似结果。