$\mathbb{F}_q(t)$ 上 Galois 共轭之间的线性关系

我们对可出现在 Galois 共轭 $\gamma_i \in \overline{\mathbb{F}_q(t)}$ 之间的线性关系 $\sum_{i=1}^n a_i \gamma_i =0$ 中的系数 $(a_1,...,a_n) \in \mathbb{F}_q[t]^n$ 进行了分类。我们称这样的 $n$ 元组为 Smyth 元组。我们的主要定理对 Smyth 于 1986 年在 $\mathbb{Q}$ 上提出的一个猜想的函数域类比给出了肯定回答。Smyth 证明了 $a_i$ 上的某些局部条件是必要的，并猜想它们是充分的。我们的主要结果是，在 $\mathbb{F}_q(t)$ 上类似条件是必要且充分的，我们使用 Smyth 给出的 Smyth 元组的组合刻画证明了这一点。我们还表述了 Smyth 猜想在任意数域中的推广，由于在非阿基米德位出现的微妙之处，该推广并非对 $\mathbb{Q}$ 上猜想的直接推广。