伴随表示商的自同构提升

设 $\mathfrak g_i$ 为单复李代数，$1\leq i \leq d$，并令 $G=G_1\times...\times G_d$ 为相应的伴随群。考虑 $G$-模 $V=\oplus r_i\mathfrak g_i$，其中对所有 $i$ 有 $r_i\geq 1$。若所有 $r_i\geq 2$，且当 $G_i$ 的秩为 1 时有 $r_i\geq 3$，则称 $V$ 为 **大** 的。在 [Schwarz12] 中我们证明了当 $V$ 大时，商 $Z:= V//G$ 的任何代数自同构 $\psi$ 都可提升为一个代数映射 $\Psi\colon V\to V$，它将 $z$ 上的纤维映到 $\psi(z)$ 上的纤维，$z\in Z$。（多数情形已在 [Kuttler11] 中处理。）我们还证明了可以选择一个双全纯提升 $\Psi$，使得 $\Psi(gv)=\sigma(g)\Psi(v)$，$g\in G$, $v\in V$，其中 $\sigma$ 是 $G$ 的一个自同构。这留下了如下未决问题：能否提升 $Z$ 的全纯自同构？若 $V$ 不大，哪些自同构可以提升？我们对第一个问题给出肯定的回答，同时也回答了第二个问题。证明的一部分涉及对大的 $V$ 建立以下结果：$Z$ 上的任何 $k$ 阶代数微分算子都可提升为 $V$ 上的一个 $G$-不变的 $k$ 阶代数微分算子。我们还考虑了上述问题在紧李群作用下的类似情形。