提升重数码与无交修复组性质

提升 Reed-Solomon 码（Guo, Kopparty, Sudan 2013）是在局部可校正与可测试码的背景下引入的。它们是这样的多元多项式：其在任意直线上的限制都是 Reed-Solomon 码的一个码字。我们考虑对其构造的一种推广，称之为提升重数码（lifted multiplicity codes）。这些是多元多项式码，其在任意直线上的限制都是重数码（Kopparty, Saraf, Yekhanin 2014）的一个码字。我们表明，相较于先前已知的构造，提升重数码在冗余度与一种称为 $t$-无交修复组性质（disjoint-repair-group property）的局部性概念之间具有更好的权衡。更确切地说，我们表明长度为 $N$、冗余度为 $O(t^{0.585} \sqrt{N})$ 的提升重数码具有如下性质：码字的任意符号都可用 $t$ 种不同方式重建，每种方式使用其他坐标的一个无交子集。这对任意超常数 $t < \sqrt{N}$ 给出了该问题已知最佳的权衡。我们还使用对偶码给出了对提升 Reed-Solomon 码的一种替代分析，这或许具有独立意义。