某些分支覆盖的可提升映射类群

设 $S_{g,n}$ 为 genus $g$ 且带有 $n$ 个标记点的闭致密双曲面，其中 $S_{g,0}=S_g$。设 $\mathrm{Mod}(S_{h,n})$ 为 $S_{h,n}$ 的映射类群，$\mathrm{LMod}_p(S_{h,n})$ 为与覆盖 $p:S_g\to S_{h,n}$ 关联的可提升映射类群。对于覆盖 $p_k:S_k\to S_{1,2}$，Ghaswala 在其博士论文中使用 Reidemeister-Schreier 重写过程推导了当 $k=2,3,4$ 时 $\mathrm{LMod}_{p_k}(S_{1,2})$ 的有限生成集，当 $k=5,6$ 时得到有限生成集。本文推导了 $\mathrm{LMod}_{p_k}(S_{1,2})$ 对所有 $k\geq 2$ 的有限生成集。过程中，我们还证明了同调表示 $\Psi:\mathrm{Mod}(S_{1,2})\to \mathrm{GL}_3(\Z)$ 的核由关于分离简单闭合曲线的 Dehn 扭转常规生成，且该核是免于可数基的。我们还提供了由分离 Dehn 扭转构成的核的显式可数基。作为 Birman-Hilden 理论的应用，我们给出 $k=2,3$ 时 Deck 群在 $\mathrm{Mod}(S_k)$ 中的规范子的有限生成集。我们通过论证 $\mathrm{LMod}_{p_k}(S_{1,2})$ 当且仅当 $k$ 为素数时在 $\mathrm{Mod}(S_{1,2})$ 中为最大的，结束本文。