二维双曲面上的李代数收缩与变量分离：坐标系

在这项工作中，给出了允许二维亥姆霍兹方程变量分离的所有可能的正交和非正交坐标系在双叶（上叶）$H_2$ 以及单叶 ${\tilde H}_2$ 双曲面上的详细几何描述。证明了仅有五种类型的正交坐标系，即伪球、等距、horiciclic、椭圆-抛物和椭圆系统完全覆盖单叶 ${\tilde H}_2$ 双曲面。对于 ${\tilde H}_2$ 双曲面上的其他系统，不存在定义良好的 Inönü--Wigner 收缩到伪欧平面 $E_{1,1}$。尽管如此，我们发现了单叶双曲面上的全部九个正交和三个非正交可分离坐标系与伪欧平面 $E_{1,1}$ 上的八个正交加三个非正交坐标系之间的关系。我们未能在双曲面 ${\tilde H}_2$ 的九个可分离坐标中识别出 $E_{1,1}$ 上 II 型抛物坐标的对应物，但我们在收缩极限中定义了一个具有此性质的可能候选。借助收缩极限，我们理解了在伪欧平面 $E_{1,1}$ 上亥姆霍兹方程存在一个不对应于任何坐标分离系统的额外不变算符的起源。最后，我们重新检查了从双叶 $H_2$ 双曲面上的九个可分离系统到欧氏平面 $E_2$ 的所有收缩极限，并发现了一些先前未报道的过渡。