双扭曲结的左可序手术 II

若沿纽结 $K \subset S^3$ 作 $r$-手术所得的 3-流形具有左可序基本群，则称斜率 $r$ 为 $K$ 的左可序斜率。考虑 Conway 记号中的两桥纽结 $C(2m, \pm 2n)$ 与 $C(2m+1, -2n)$，其中 $m \ge 1$ 且 $n \ge 2$ 为整数。利用纽结群的双曲 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})$-表示之\textit{连续}族，文献 \cite{HT-genus1, Tr} 证明了 $(-4n, 4m)$（相应 $[0, \max\{4m, 4n\})$）中的任意斜率是 $C(2m, 2n)$（相应 $C(2m, - 2n)$）的左可序斜率，且文献 \cite{Ga} 证明了 $(-4n,0]$ 中的任意斜率是 $C(2m+1,-2n)$ 的左可序斜率。然而，这些结果的证明并不完备，因为表示族的\textit{连续性}未被证明。在本文中，我们补全这些证明，并且进一步证明 $(-4n, 4m)$ 中的任意斜率是可由纽结群的双曲 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})$-表示探测到的 $C(2m+1,-2n)$ 的左可序斜率。