类型 $D$ 中 Kazhdan--Lusztig 多项式的首项系数

Kazhdan--Lusztig 多项式出现于与 Coxeter 群相关的 Hecke 代数背景中。即使是中等秩的例子，这些多项式的计算也非常困难。在类型 $A$ 中，已知当 $x$ 为完全交换元且 $w$ 任意时，Kazhdan--Lusztig 多项式 $P_{x,w}$ 的首项系数 $\mu(x,w)$ 为 0 或 1。在类型 $D$ Coxeter 群中，存在某些“坏”元素使得 $\mu$ 值的计算变得困难。对称群与标准 Young 表对之间的 Robinson--Schensted 对应提供了一种计算类型 $A$ Coxeter 群胞腔的方法。对于带符号置换与所谓的 domino 表对之间存在一种较少为人知的对应，它允许我们计算类型 $B$ 和 $D$ Coxeter 群的胞腔。本文将利用类型 $D$ 中的这种对应来计算涉及坏元素的 $\mu$ 值。最后将证明，在类型 $D$ 中，当 $x$ 为完全交换元时，$\mu(x,w)$ 为 0 或 1。