Ewens-Pitman模型的大数定律和中心极限定理

Ewens-Pitman模型是集合$\{1,\ldots,n\}$的随机划分的分布，参数$\alpha \in [0,1)$和$\theta>-\alpha$，其中$\alpha=0$是群体遗传学中的Ewens模型。Ewens-Pitman随机划分中块数$K_{n}$的大$n$渐近行为已在几乎必然和高斯波动方面得到广泛研究，表明$K_{n}$按$\log n$和$n^{\alpha}$缩放，取决于$\alpha=0$或$\alpha\in(0,1)$，分别提供非随机和随机极限行为。本文中，我们研究当参数$\theta$允许线性依赖于$n\in\mathbb{N}$时$K_{n}$的大$n$渐近行为，这是Feng (2007)首次考虑的非标准渐近 regime。特别地，对于$\alpha\in[0,1)$和$\theta=\lambda n$，$\lambda>0$，我们建立了$K_{n}$的大数定律(LLN)和中心极限定理(CLT)，表明$K_{n}$按$n$缩放，提供非随机极限行为。根据$\alpha=0$或$\alpha\in(0,1)$，我们的结果依赖于不同的论证。对于$\alpha=0$，我们依赖于$K_{n}$表示为独立但不同分布的伯努利随机变量之和，这导致CLT的细化，即Berry-Esseen定理。而对于$\alpha\in(0,1)$，我们依赖于$K_{n}$的复合泊松构造，导致证明负二项复合泊松随机划分的块数的LLN、CLT和Berry-Esseen定理，这些结果本身具有独立意义。