基于 Jack 生成函数的大数定律与中心极限定理

在 Bufetov 与 Gorin 的一系列论文 [22-24] 中，作为酉群 $U(N)$ 上的傅里叶变换的 Schur 生成函数被引入以研究随机 $N$ 粒子系统的渐近行为。我们引入并研究了随机 $N$ 粒子系统的 Jack 生成函数。在特殊情形下，这可视为 Gelfand 对 $(GL_N(\mathbb R), O(N))$、$(GL_N(\mathbb C), U(N))$ 与 $(GL_N(\mathbb H), Sp(N))$ 上的傅里叶变换。我们的主要结果表明，此类粒子系统的大数定律与中心极限定理，等价于其 Jack 生成函数在单位元处的芽上的某些条件。我们的主要工具是 Nazarov-Sklyanin 算子 [50]，它以 Jack 对称函数作为其特征函数。作为应用，我们导出了 Jack 特征标的渐近式，证明了 zonal 多项式的 Littlewood-Richardson 系数的大数定律与中心极限定理，并证明了一般族不相交随机游动的高度函数的涨落渐近等于上半平面上高斯自由场拉回的涨落。