上临界维数的 $\phi^4$ 格子理论中的有限尺度效应

我们对 $\phi^4$ 格子模型在 $d$ 维立方几何中（尺寸为 $L$，周期边界条件下）近 $T_c$ 的有限尺度效应进行了扰动计算，满足 $d > 4$。发现与球面极限下 $\phi^4$ 场论中先前发现的结构差异也存在于序参量有限分量数的情况下。场论的两个变量有限尺度缩放函数是非通用的，而格子理论的缩放函数则独立于非通用模型参数。推导得到的单变量缩放形式的两变量有限尺度缩放函数的一阶结果。其结构与最低模近似的单变量缩放形式不一致，且适用于任何有限的 $\xi/L$，其中 $\xi$ 为 bulk 关联长度。在 $T_c$ 处，大 $L$ 行为对格子模型而言变为最低模形式，但对场论模型而言则非如此。格子模型的特征温度如 $T_{max}(L)$（磁化率 $\chi$ 的最大值处的温度）的大 $L$ 行为表现为 $T_c - T_{max}(L) \sim L^{-d/2}$，与之前的五维 Ising 模型的蒙特卡罗数据一致。我们还预测 $\chi_{max} \sim L^{d/2}$。在定量层面，由于由非均匀模导致的有限尺度项 $\sim L^{(4-d)/2}$，在 $d = 5$ 时的大 $L$ 行为的渐近�幅尚未在以前的蒙特卡罗模拟中被观察到。这些项识别了最低模近似与以前蒙特卡罗数据之间显著差异的可能来源。需要更大的系统蒙特卡罗数据以测试 $L^{(4-d)/2}$ 和 $L^{4-d}$ 项的大小。