q-deformations of compact semisimple Lie groups 上的 Laplacians

在紧凑量子群 (CQG) 上的拉普拉斯算子概念 formulation 长期以来被认为是既根本又具有挑战性的。已有的构建方法通常依赖于选择特定的一阶微分计算 (FODC)，但由于非交换环境中缺乏规范选择，这些方法本质上是非规范的。在本文中，我们提出了一套简单条件，使得线性算子可被识别为 CQG 上的拉普拉斯算子——具体而言，作为与之相关的 bicovariant FODC 的微分的形式模平方。在框架的关键特性是其普适性：它适用于 K_q 上任意有限维 bicovariant *-FODCs，即紧致半单 Lie 群 K 的 q 变形。对于每种这样的计算，我们定义一个通过其微分的形式模平方来定义拉普拉斯算子。 在温和的额外假设下，我们证明这些算子在经典极限 q → 1 时收敛到 K 上的经典拉普拉斯算子，从而证明了它们作为“q 变形拉普拉斯”的解释。此外，我们证明 q 变形拉普拉斯的谱是离散的、实数、下界有限且发散至无穷， much like those of their classical counterparts. 然而，与经典情况不同，相关的 heat semigroups 不构成量子马尔可夫半群。