范数理想中内积型积分变换子的 Landau 与 Grüss 型不等式

对于概率测度 $\mu$ 以及交换正规算子的平方可积场 $(\mathscr{A}_t)$ 和 $(\mathscr{B}_t)$ ($t\in\Omega$)，我们证明了对所有 $X\in\mathcalb{B}(\mathcal{H})$ 以及所有酉不变范数 $\lluo\cdot\rruo$ 成立的 Landau 型不等式 \llu\int_\Omega\mathscr{A}_tX\mathscr{B}_td\mu(t)- \int_\Omega\mathscr{A}_t\,d\mu(t)X \int_\Omega\mathscr{B}_t\,d\mu(t) \rru \le \llu \sqrt{\,\int_\Omega|\mathscr{A}_t|^2\dt-|\int_\Omega\mathscr{A}_t\dt|^2}X \sqrt{\,\int_\Omega|\mathscr{B}_t|^2 \dt-|\int_\Omega\mathscr{B}_t\dt|^2} \rru。对于 Schatten $p$-范数，给出了任意双重平方可积场的类似不等式。此外，对于所有满足 $C\le\mathscr{A}_t\le D$ 且 $E\le\mathscr{B}_t\le F$（对所有 $t\in\Omega$ 及某些有界自伴算子 $C,D,E$ 和 $F$）的有界自伴场，则对所有 $X\in\ccu$，我们证明了 Grüss 型不等式 \llu\int_\Omega\mathscr{A}_tX\mathscr{B}_t \dt- \int_\Omega \mathscr{A}_t\,d\mu(t)X \int_\Omega\mathscr{B}_t\,d\mu(t) \rru\leq \frac{\|D-C\|\cdot\|F-E\|}4\cdot\lluo X\rruo。还给出了任意有界场的更一般结果。