幂零群的 $L^p$ 测度等价

我们对所有 $p\leq 1$，将多项式增长的紧生成局部紧群在 $L^p$ 测度等价（ME）意义下进行了分类。为此，我们结合了此前Bowen和Austin对离散群证明的刚性结果，以及在单连通幂零Lie群之间构造显式轨道等价的新方法。特别地，我们证明对于任意一对单连通幂零Lie群，存在某个 $p>0$ 使得 $L^p$ 轨道等价成立，且当且仅当这些群具有同构的渐近锥时，我们可以选择 $p>1$。我们还证明了单连通幂零Lie群中格点的类似结果。这得出了Austin定理的一个强逆定理：两个 $L^1$ ME的幂零群具有同构的Carnot分级群。我们还解决了将该分类推广到 $p>1$ 的 $L^p$ ME的更为困难的问题：我们获得了首批刚性结果，给出了具有同构Carnot分级群（因而是 $L^1$ OE）的幂零群的例子，这些群对某些有限（明确的）$p$ 不是 $L^p$ ME。为此，我们引入了一种新方法，该方法通过利用Cantrell定理将上同调的归纳与缩放极限相结合。最后，在附录中，我们将Bowen、Austin和Cantrell关于 $L^1$ ME的定理推广到局部紧群。