与完全不连通群相关的 $C^*$-张量范畴的 $L^2$-Betti 数

我们证明，在存在一个 $L^2$-Betti 数消失的几乎正规子范畴时，刚性 $C^*$-张量范畴的 $L^2$-Betti 数也消失，推广了 Bader、Furman 和 Sauer 的结果。我们应用该判据证明由 Arano 和 Vaes 从完全不连通群构造的范畴具有消失的 $L^2$-Betti 数。给定离散群的一个几乎正规包含 $\Lambda<\Gamma$，其中 $\Gamma$ 通过外自同构作用于 $\mathrm{II}_1$ 型因子 $P$，我们将拟正则包含 $P\rtimes\Lambda\subset P\rtimes\Gamma$ 的上同调理论与 $\Lambda<\Gamma$ 的 Schlichting 完备化 $G$ 的上同调理论联系起来。若 $\Lambda<\Gamma$ 是单模的，则该对应使我们能够证明 $P\rtimes\Lambda\subset P\rtimes\Gamma$ 的 $L^2$-Betti 数等于 $G$ 的 $L^2$-Betti 数。