$L^1$-Dini 条件与奇异积分弱型估计的极限行为

2006 年，Janakiraman [10] 证明了如果 $S^{n-1}$ 上均值为零的 $\Omega$ 满足条件 $$\sup_{|\xi|=1}\int_{S^{n-1}}|\Omega(\theta)-\Omega(\theta+\delta\xi)|d\sigma(\theta)\leq Cn\delta\int_{S^{n-1}}|\Omega(\theta)|d\sigma(\theta),\quad 0<\delta<\frac{1}{n},\ (\ast)$$ 那么对于具有齐次核的奇异积分算子 $T_\Omega$，以下极限行为成立：$$\lim\limits_{\lambda\rightarrow 0}\lambda m(\{x\in\mathbb{R}^n:|T_\Omega f(x)|>\lambda\})= \frac{1}{n}\|\Omega\|_{1}\|f\|_{1},\quad \text{对于}\ f\in L^1(\mathbb{R}^n)\ \text{且}\ f\geq 0.\ (\ast\ast)$$ 在本文中，我们证明如果将条件 $(\ast)$ 替换为更一般的条件，即 $L^1$-Dini 条件，则极限行为 $(\ast\ast)$ 对于奇异积分 $T_\Omega$ 仍然成立。特别地，我们给出了一个满足 $L^1$-Dini 条件但不满足 $(\ast)$ 的例子。因此，我们实质性地改进了 [10] 中给出的上述结果。为了证明我们的结论，我们证明了分别通过 $\mathbb{R}^n$ 上的旋转和平移定义的 $L^1$-Dini 条件是等价的（见下文定理 2.5），这在奇异积分理论中具有其自身的意义。此外，本文还建立了具有齐次核的分数阶积分算子 $T_{\Omega,\alpha}$ 的类似极限行为。