正态近似中的 $L^1$ 界

$W$ 的零偏分布 $W^*$ 由刻画方程 $\mathit{EW}f(W)=\sigma^2Ef'(W^*)$ 定义（对所有光滑函数 $f$ 成立），它存在于所有均值为零且方差 $\sigma^2$ 有限的 $W$ 中。对于定义在同一概率空间上的 $W$ 和 $W^*$，$F$（$\mathit{EW}=0$ 且 $Var(W)=1$ 的 $W$ 的分布函数）与累积标准正态分布 $\Phi$ 之间的 $L^1$ 距离具有简单的上界 $$\Vert F-\Phi\Vert_1\le2E|W^*-W|.$$ 该不等式用于为独立和、球面 $S(\ell_n^p)$ 上锥测度的投影、简单随机抽样和组合中心极限定理提供具有中等大小常数的显式 $L^1$ 界。