Kronecker 类、正规覆盖和群的首要因子

对于群 $G$，若子群 $U \leq G$ 且 $\mathrm{Inn}(G) \leq A \leq \mathrm{Aut}(G)$，若 $G = \bigcup_{a\in A}U^a$，则称 $U$ 为 $A$-覆盖群。Jordan 定理（1872）表明，若 $G$ 为有限群，$A = \mathrm{Inn}(G)$，且 $U$ 为 $A$-覆盖群，则 $U = G$。针对域扩张的 Kronecker 类问题，Neumann 和 Praeger（1988）提出猜想：更一般地，存在整数函数 $f$，使得若 $G$ 为有限群且 $U$ 为 $A$-覆盖子群，则 $|G:U| \leq f(|A:\mathrm{Inn}(G)|)$。该猜想的关键证据是 Praeger（1994）的定理：存在二元整数函数 $g$，使得若 $G$ 为有限群且 $U$ 为 $A$-覆盖子群，则 $|G:U|\leq g(|A:\mathrm{Inn}(G)|,c)$，其中 $c$ 为 $A$-首要因子的个数。不幸的是，该结果的证明存在错误。本文采用不同论证方法，给出该定理的正确证明。