$g$-拉伸局部环上的Koszul性质与有限线性亏度

线性亏度是衡量诺特局部环上模的极小自由解的非线性程度的一个度量。Herzog和Iyengar提出的一个引人入胜的公开问题询问：如果一个诺特局部环$(R,\mathfrak{m})$的剩余域$R/\mathfrak{m}$具有有限线性亏度，那么$R$是否是Koszul的？当$R$是一个具有几乎极小重数的Cohen-Macaulay局部环且剩余域特征为零时，我们对该问题给出了肯定的回答。证明依赖于对满足$\mathfrak{m}^2$是主理想的诺特局部环$(R,\mathfrak{m})$的研究，我们称这类环为$g$-$拉伸$局部环。$g$-拉伸局部环的类包含了Sally研究的拉伸阿廷局部环，以及具有几乎极小重数的Cohen-Macaulay局部环的一般阿廷约化。我们主要结果证明中的一个关键部分是对一维完备$g$-拉伸局部环的完整刻画。除了在Herzog-Iyengar问题上取得的部分进展外，我们研究的另一个成果是对所有$g$-拉伸Koszul环的数值刻画，这加强了Avramov、Iyengar和Şega先前的工作。