复杂动力学涌现能量学的运动学基础

复杂动力学的随机运动学描述被证明可以决定其能量学与热力学结构。能量函数 $\varphi(x)$ 作为涨落消失的马尔可夫动力学广义非平衡自由能的极限而涌现。借助 $\nabla\varphi$ 及其正交场 $\gamma(x)\perp\nabla\varphi$，一般向量场 $b(x)$ 可分解为 $-D(x)\nabla\varphi+\gamma$，其中 $\nabla\cdot\big(\omega(x)\gamma(x)\big)=-\nabla\omega D(x)\nabla\varphi$。矩阵 $D(x)$ 和标量 $\omega(x)$ 是对 $b(x)$ 的两个附加特征，代表了状态空间中 $x$ 处统计运动所固有的局部几何与态密度。$\varphi(x)$ 和 $\omega(x)$ 分别被解释为运动的涌现能量与简并度，能量平衡方程 $d\varphi(x(t))/dt=\gamma D^{-1}\gamma-bD^{-1}b$ 反映了几何关系 $\|D\nabla\varphi\|^2+\|\gamma\|^2=\|b\|^2$。统计力学中使用的配分函数与 J. W. Gibbs 的系综变换法自然产生；通过熵产生的两个主阶渐近（当 $\epsilon\to 0$ 时），建立了一个涨落耗散定理。本理论为 P. W. Anderson 在复杂性科学层级结构中的涌现行为提供了数学基础。