5维时空的克illing约化

在5维时空 $(M,g_{ab})$ 中，若存在一个 everywhere 时向或 everywhere 空间向的克illing矢量场 $\xi ^a$，则其所有轨迹组成的集合给出4维空间 $S$。本文以几何语言研究 $(M,g_{ab})$ 的约化，该方法是Geroch方法用于4维时空约化的推广。通过对 $M$ 上的真空爱因斯坦方程进行约化，可得到 $S$ 上耦合向量场和标量场的4维引力。这是一种5维卡鲁托-克因理论的另一种描述。除了从 $M$ 上的希尔伯作用量得到的对称约化作用量外，还获得了场在 $S$ 上的另一种作用量，其变分得到的场方程与从 $M$ 上的真空爱因斯坦方程约化而得的场方程相同。