热带几何中的核与 Jordan-Hölder 定理

仿射热带簇与代数对象之间存在对应关系，这遵循仿射代数几何中不可约仿射簇与坐标代数素谱之间的经典 Zariski 对应。尽管在此背景下，域上多项式环的自然类比是半域上的多项式半环（没有零元），但人们通过同余而非理想获得坐标代数的同态像，这极大地复杂化了代数理论。在本文中，我们转向多项式半环的分式半域$F(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$，对于该半域已存在完善的核理论，其中核是正规凸子群；这种方法使我们能够交换加法和乘法的结构角色，并利用大量关于群同态链的广泛理论，包括 Jordan-Hölder 理论。零集的平行概念现在是 1-集。这些概念在超热带代数语言中被细化为$\nu$-核和$1^\nu$-集，赋予了理论更高的精度。类比于提供根理想与零集之间对应关系的著名 Hilbert 零点定理，我们开发了$1^\nu$-集与有理半域的一类研究充分的$\nu$-核（称为极，源于格序群理论）之间的对应关系。当限制于一种称为主的特殊核并与由$F$生成的核相交时，这种对应关系变得更简单且更适用。我们利用该理论研究热带几何中的热带根。作为应用，我们开发了合成列和凸度，从而导出了 Jordan-Hölder 定理的热带版本。