位形空间中的 KAM 理论与 Lindstedt 级数中的相消

解析拟积分非等时哈密顿系统的 KAM 定理指出，具有丢番图频率向量的拟周期解的微扰展开（Lindstedt 级数）是收敛的。如果研究 Lindstedt 级数，会发现收敛性最终与同阶微扰贡献之间存在的相消有关。这反过来又归因于问题中的对称性。在通常表述 KAM 定理的作用量-角变量坐标中，通过利用 Lindstedt 级数与量子场论中微扰展开的类比，特别是用树图（类比于费曼图）表示解的可能性，这种对称性很容易被直观理解。如果未微扰系统是等时的，Moser 修正项定理保证了对于通过在向量场中添加适当常数（抵消项）而得到的系统，存在与未微扰哈密顿量具有相同丢番图频率向量的解析拟周期解。同样在这种情况下，可以遵循另一种方法来研究解和抵消项的微扰展开，并且同样，两级数的收敛是同阶贡献之间深度相消的结果。我们通过研究在笛卡尔坐标下工作所获得的微扰展开，重新审视了 Moser 定理。我们研究了引起相消的对称性，正是这些相消使得级数的收敛成为可能。我们发现，在笛卡尔坐标中相消机制以完全不同的方式运作。用树图对底层对称性的解释比在作用量-角变量坐标中要微妙得多。