三维多项式代数的 Jordan-Schwinger 实现

m 阶三维多项式代数由对易关系 $[P_0, P_\pm]$ $=$ $\pm P_\pm$、$[P_+, P_-]$ $=$ $\phi^{(m)}(P_0)$ 定义，其中 $\phi^{(m)}(P_0)$ 是 $P_0$ 的 m 次多项式，其系数为常数或代数的中心元。本文证明，两个给定的阶数分别为 l 和 m 的相互对易的多项式代数可以组合得到两个不同的 $(l+m+1)$ 阶多项式代数。该过程源于著名的由两相互对易的玻色代数构造 $su(2)$ 与 $su(1,1)$ 代数的 Jordan-Schwinger 方法的推广。