一维双谐振子的联合激发概率与 Mott 问题

我们分析了一个一维量子系统，该系统由一个测试粒子与两个分别位于位置 $a_1$、$a_2$ 的谐振子相互作用组成，其中 $a_1 >0$，$|a_2|>a_1$，考虑两种可能情况：$a_2>0$ 和 $a_2 <0$。在零时刻，谐振子处于基态，测试粒子处于两个波包的叠加态，这两个波包中心位于原点且具有相反的平均动量。在模型物理参数的适当假设下，我们考虑了波函数的时间演化，并计算了概率 $\mathcal{P}^{-}_{n_1 n_2} (t)$（对应 $a_2 <0$）或 $\mathcal{P}^{+}_{n_1 n_2} (t)$（对应 $a_2 >0$），即在时间 $t > |a_2| v_0^{-1}$ 时两个谐振子均处于标记为 $n_1$, $n_2 >0$ 的激发态的概率。我们证明，在含时微扰论的二阶近似下，$\mathcal{P}_{n_1 n_2}^- (t)$ 相对于 $\mathcal{P}_{n_1 n_2}^+ (t)$ 可忽略不计。我们所考虑的系统是 Mott 在 \cite{m} 中引入的云室原始模型的一维简化版本，该原始模型的结果是在定态薛定谔方程的定态微扰论框架下使用启发式论点论证的。证明方法完全是初等的，主要基于稳相法论证。我们还指出，所有计算均针对三粒子系统的薛定谔方程，未涉及波包坍缩假设。