Johann Faulhaber 与幂和

Johann Faulhaber 于17世纪早期的数学出版物包含一些卓越的定理，例如：当 $m$ 为正奇数时，$1^m,2^m,...,n^m$ 的 $r$ 重求和是关于 $n(n+r)$ 的多项式。本文探讨了一种基于计算的方法，Faulhaber 很可能借此发现了此类结果，并解开了 Faulhaber 留给读者的一个已有360年历史的谜题。本文还表明，当我们用中心阶乘幂而非普通幂来表达这些和时，类似结果也成立。此外，Faulhaber 的系数可推广到非整数指数的阶乘幂，从而得到 $1^{\alpha}+2^{\alpha}+...+n^{\alpha}$ 关于 $n^{-1}(n+1)^{-1}$ 幂的渐近级数。