Faulhaber 公式对任意复幂求和的推广

本文给出 Faulhaber 公式对形如 $m\in\mathbb{C}$ 的任意复幂求和的推广。这些针对 $\sum_{k=1}^{\lfloor x\rfloor}k^{m}$ 与 $\sum_{k=1}^{n}k^{m}$（其中 $x\in\mathbb{R}^{+}$ 且 $n\in\mathbb{N}$）的求和公式基于涉及第一类 Stirling 数的级数加速。尽管由 Euler-Maclaurin 求和公式得到的相应表达式发散是众所周知的，我们的求和公式均具有非常快速的收敛性。