$\mathbf{Z}_p^2$-扩张上的岩泽理论与 $p$-进 $L$-函数

本文中，我们为 $\mathbf{Q}_p$ 的绝对伽罗瓦群的一个晶体表示的岩泽上同调，在 $\mathbf{Q}_p$ 的一个伽罗瓦扩张上（其伽罗瓦群为二维阿贝尔 $p$-进李群），定义了 Perrin-Riou 的 $p$-进调节子映射的双变量类似物。我们利用该调节子映射来研究数域的某些阿贝尔扩张上的整体伽罗瓦群的 $p$-进表示，这些扩张在 $p$ 上素数的局部化为上述类型的扩张。在模形式所附着的表示限制到虚二次域的例子中，我们提出了一个关于“zeta 元素”存在的猜想，该元素在调节子映射下的像是 $p$-进 $L$-函数。我们证明该猜想蕴含了由 Perrin-Riou 和 Kim 构造的双变量 $p$-进 $L$-函数的已知性质。