通过局部演化集过程的迭代方法

给定阻尼因子 $\alpha$ 和精度容差 $\epsilon$，\citet{andersen2006local} 提出了近似个性化 PageRank (APPR)，这是近似 PPR 向量的\textit{事实上的局部方法}，其运行时间由 $\Theta(1/(\alpha\epsilon))$ 界定，与图大小无关。最近，\citet{fountoulakis2022open} 询问是否可以使用 $\tilde{O}(1/(\sqrt{\alpha}\epsilon))$ 次操作开发更快的局部算法。通过注意到 APPR 是 Gauss-Seidel 方法的一种局部变体，本文探讨了\textit{标准迭代求解器能否被有效局部化}的问题。我们提出使用\textit{局部演化集过程}，这是一种表征算法局部性的新颖框架，并证明了许多标准求解器可以被有效局部化。令 $\overline{\operatorname{vol}}{ (S_t)}$ 和 $\overline{\gamma}_{t}$ 分别为过程中活跃节点集 $\textstyle S_{t}$ 的体积和残差比的运行平均值。我们证明 $\overline{\operatorname{vol}}{ (S_t)}/\overline{\gamma}_{t} \leq 1/\epsilon$，并证明 APPR 有一个新的运行时间界 $\tilde{O}(\overline{\operatorname{vol}}(S_t)/(\alpha\overline{\gamma}_{t}))$，反映了实际性能。此外，当残差缩减的几何平均值为 $\Theta(\sqrt{\alpha})$ 时，存在 $c \in (0,2)$ 使得局部 Chebyshev 方法在没有单调性假设的情况下具有运行时间 $\tilde{O}(\overline{\operatorname{vol}}(S_{t})/(\sqrt{\alpha}(2-c)))$。数值结果证实了这一新颖框架的效率，并显示在真实世界图上相比相应标准求解器有高达百倍的加速。