具有绝对误差保证的单源个性化 PageRank 近似

个性化 PageRank (PPR) 是图中一种被广泛研究和应用的节点邻近度度量。对于图 $G=(V,E)$ 上的一对节点 $s$ 和 $t$，PPR 值 $\pi(s,t)$ 定义为从 $s$ 出发的 $\alpha$-折扣随机游走在 $t$ 终止的概率，其中游走在每一步以概率 $\alpha$ 终止。我们研究了经典的单源 PPR 查询，该查询要求计算从给定源节点 $s$ 到图中所有节点的 PPR 近似值。具体而言，我们的目标是提供具有绝对误差保证的近似值，确保生成的 PPR 估计值 $\hat{\pi}(s,t)$ 满足 $\max_{t\in V}\big|\hat{\pi}(s,t)-\pi(s,t)\big|\le\varepsilon$，其中 $\varepsilon$ 为给定的误差界。我们提出了一种算法，能以高概率实现这一目标，其期望运行时间为：对于有向图为 $\widetilde{O}\big(\sqrt{m}/\varepsilon\big)$，其中 $m=|E|$；对于无向图为 $\widetilde{O}\big(\sqrt{d_{\mathrm{max}}}/\varepsilon\big)$，其中 $d_{\mathrm{max}}$ 是图中的最大节点度；对于幂律图为 $\widetilde{O}\left(n^{\gamma-1/2}/\varepsilon\right)$，其中 $n=|V|$ 且 $\gamma\in\left(\frac{1}{2},1\right)$ 为幂律指数。这些次线性界限优于现有结果。我们还研究了需要度归一化绝对误差保证的情形，即要求 $\max_{t\in V}\big|\hat{\pi}(s,t)/d(t)-\pi(s,t)/d(t)\big|\le\varepsilon_d$，其中 $\varepsilon_d$ 为给定的误差界，图是无向的，$d(t)$ 是节点 $t$ 的度。我们给出了一种能以高概率提供此误差保证的算法，其期望复杂度为 $\widetilde{O}\left(\sqrt{\sum_{t\in V}\pi(s,t)/d(t)}\big/\varepsilon_d\right)$。这优于先前已知的 $O(1/\varepsilon_d)$ 复杂度。