克利福德代数的等距变换 II

设F为特征不等于2的域，并令$F^{n}$表示F中元素的n元组构成的向量空间。令${e_{1}, ... , e_{n}}$表示$F^{n}$的标准基。设r和s为非负整数使得r + s = n，并令Q表示$F^{n}$上的非退化双线性形式，满足当i,j不同时$Q(e_{i}, e_{j}) = 0$，当$1 \leq i \leq r$时$Q(e_{i},e_{i}) = 1$，以及当$1 \leq j \leq s$时$Q(e_{r+j},e_{r+j}) = -1$。令$C\ell(r,s)$表示由Q和$F^{n}$确定的克利福德代数。存在Q到$C\ell(r,s)$上非退化、对称双线性形式$\bar{Q}$的典范扩张。若$C\ell(r,s)$的元素g通过左乘和右乘平移保持$\bar{Q}$，则称g为$C\ell(r,s)$的等距变换。令$G_{r,s}$表示$C\ell(r,s)$的所有等距变换构成的群。我们构造了F上的李代数$LG_{r,s}$，在F = R或C时它等于$G_{r,s}$的李代数。李代数$LG_{r,s}$容许一个对合自同构，其+1和-1特征空间确定了嘉当分解$LG_{r,s} = K_{r,s} \oplus P_{r,s}$。我们计算了$LG_{r,s}$的自然生成元系统的括号关系。最后，我们确定了F = R时的$LG_{r,s}$。