我的常微分方程组是 k-合作的吗？

一个线性动力系统若其流将非负象限映射到自身，则称为正的。更确切地说，它将对符号变号为零的向量集合映射到自身。一个线性动力系统若其流将具有至多 $k-1$ 次符号变号的向量集合映射到自身，则称为 $k$-正的。一个非线性动力系统若其变分系统（一个时变线性动力系统）是 $k$-正的，则称为 $k$-合作的。这些系统具有特殊的渐近性质。例如，最近已证明强 $2$-合作系统满足强 Poincar\'{e}-Bendixson 性质。正性与 $k$-正性可依据动力学矩阵的符号模式轻易验证。然而，这些符号条件在坐标变换下不保持不变。一个自然的问题是判定一个给定的 $n$ 维系统在坐标变换下是否为 $k$-正的。我们针对两类特殊变换研究此问题：置换与由符号矩阵的缩放。对于任意 $n\geq 4$ 与 $k\in\{2,\dots, n-2\}$，我们给出在此类坐标变换下 $k$-正性的图论充要条件。我们描述了我们的结果在 Lotka-Volterra 系统特定类中的应用。