“高于中位数”是噪声敏感性质吗？

对正方形格子的边赋予独立权重，权重取自 $\{a,b\}$ 上的均匀分布，其中 $0<a<b<\infty$。该加权图在 $\mathbb{Z}^2$ 上诱导出一个随机度量。令 $T_n$ 表示在此度量下 $(0,0)$ 与 $(n,0)$ 之间的距离。$T_n$ 的分布具有明确的中位数。Itai Benjamini 在 2011 年提问：编码 $T_n$ 是否超过其中位数的布尔函数序列是否是噪声敏感的？本文中我们给出关于 Benjamini 问题的最初进展。更确切地说，我们研究任意一条水平穿越 $n\times n$ 正方形且垂直波动小于 $n^{1/22}$ 的路径上的最小权重，并证明对于该观测量，“高于中位数”是一个噪声敏感性质。