超椭圆 Heisenberg 代数的不可约 $\varphi$-Verma 模

我们研究泛中心扩张 $\widehat{\mathfrak{g}} = (\mathfrak{sl}_2 \otimes R) \oplus \Omega_R^1/dR$ 的诱导表示，其中 $R = \mathbb{C}[t^{\pm 1}, u]/(u^2 - p(t))$ 是超椭圆坐标环且 $p(t)$ 的次数为 $r+1$。$\widehat{\mathfrak{g}}$ 的中心的维数为 $r+1$。$\widehat{\mathfrak{g}}$ 中包含一个超椭圆 Heisenberg 子代数 $\widehat{\mathfrak{h}}$。符号函数 $\varphi \colon \mathbb{Z} \setminus \{0\} \to \{+,-\}$ 确定了虚部模式的非标准极化，从而生成 $\varphi$-Verma 模 $M_{\widehat{\mathfrak{h}}, \varphi}$ 和 $\mathcal{M}_\varphi$。在特化 $\kappa_1 = \cdots = \kappa_r = 0$ 且 $\varphi$ 满足 $p$-容许性条件的设定下，我们证明：$M_{\widehat{\mathfrak{h}}, \varphi}$ 不可约当且仅当 $\kappa_0 \neq 0$，且该判据在抛物诱导后同样支配 $\mathcal{M}_\varphi$。对于四点情形 $r=1$，我们去掉特化并处理一般中心特征 $(\kappa_0, \kappa_1) \in \mathbb{C}^2$：在 $p$-容许性下，$M_{\widehat{\mathfrak{h}}, \varphi}$ 不可约当且仅当 $(\kappa_0, \kappa_1) \neq (0,0)$（定理 A'）。一个关键要素是当 $r=1$ 时对所有 $m, n$ 成立的闭式 $\psi_{mn}(a) = \delta_{m+n, 0}\, \omega_1$，它将混合 $b^1$-$b$ 括号置于反对角线上，与超椭圆参数无关。我们还通过 $\mathbb{Z}$ 中的可达集给出了 $p$-容许性的有限可判据。我们进一步描述了 $M_{\widehat{\mathfrak{h}}, \varphi}$ 的权空间分解与形式特征标，为零水平情形提供了完整的结构定理，并通过在非零水平下为非容许极化构造显式可约模，证明了 $p$-容许性是精确的。