使用量子长方体交织子研究自旋泡沫路径积分

在这项工作中，我们研究了由 Engle、Pereira、Rovelli、Livine、Freidel 和 Krasnov 提出的自旋泡沫模型（EPRL-FK）所给出的超立方格上欧几里得量子引力的 4d 路径积分。为了解决这个问题，我们将其限制在一组反映大量格子对称性的量子几何上。具体而言，对交织子的求和被限制为量子长方体，即在 large-$j$ 极限下描述长方体几何的相干交织子。使用顶点幅的渐近表达式，我们发现了态和的几个有趣性质。首先，幅函数中耦合常数的值决定了几何或非几何位形是否主导路径积分。其次，存在耦合常数 $\alpha$ 的一个临界值，它将两个相分开。在两个相中，微分同胚对称性似乎都被破坏。在一个相中，主要贡献来自高度不规则的位形，而在另一个相中则来自高度规则的位形，两者都描述了带有微小量子涨落的平坦欧几里得空间，只是在不同的坐标系中观察。然而，在临界点上微分同胚对称性几乎得到恢复。第三，我们使用态和来计算运动学态的物理范数，即它们在物理 Hilbert 空间中的范数。我们发现描述具有高挠率的边界几何的态具有指数抑制的物理范数。我们论证了这允许在计算中将它们从态和中排除。