逆球贝塞尔函数推广 Lambert W 并求解含三角或双曲子表达式及其反函数的类似方程

变量 $x$ 的严格整数 Laurent 多项式是 0 或一项或多项的求和，每项具有整数系数乘以 $x$ 的负整数次幂。可化为某类此类多项式乘 $\exp(-x)=\mathit{constant}$ 的方程，可由第二类修正球贝塞尔函数 $k_{n}(x)$ 的逆精确求解，其中 $n$ 为阶数，当 $n>0$ 时推广了 Lambert $W$ 函数。可化为某类此类多项式乘 $\cos(x)$ 或此类多项式乘 $\sin(x)$ 或二者之和 $=\mathit{constant}$ 的方程，可由球贝塞尔函数 $y_{n}(x)$ 或 $j_{n}(x)$ 的逆精确求解。此类方程包括 $\cos(x)/x=\mathit{constant}$，其解 $\mathrm{inverse}_{1}(y_{0})(\mathit{-constant})$ 在 $\mathit{constant}=1$ 时为 Dottie 数，其中下标 1 为分支号。可化为某类严格整数 Laurent 多项式乘 $\sinh(x)$ 且可能再加此类多项式乘 $\cosh(x)$ 的方程，可由第一类修正球贝塞尔函数 $i_{n}(x)$ 的逆精确求解。这些发现源于 AskConstants 程序出人意料地对近似输入 0.739085133215160642 给出了显式精确闭式 $\mathrm{inverse}_{1}(y_{0})(-1)$，因为从约 1865 年至 2022 年 Dottie 数尚无已知显式精确闭式表示。本文包含如何实现这些球贝塞尔函数及其多分支实逆的描述。