用于非线性函数快速精确求逆的切换与样条方案：开普勒方程求解的新首选方案

数值求解函数的反函数是许多科学问题的常见任务，通常用牛顿迭代法解决。本文描述一种替代方案，基于变量切换继以样条插值，可在非常一般的条件下应用于单调函数。为优化该算法，我们设计了一个特定的超快速样条例程。我们还解析推导了该方法的理论误差，并在物理学中感兴趣的例子上进行了检验。特别地，我们计算了 Lambert 的 $W(y)$ 函数的实分支（定义为 $x \exp(x)$ 的反函数），并求解了开普勒方程。在所有情况下，我们对理论误差的预测与数值结果高度吻合，且比一般样条插值误差分析所预期的要小许多个数量级，即在 $W(y)\in [0,10]$ 范围内计算 $W$ 时小了惊人的 $3\times 10^{-22}$ 倍，对开普勒问题小了 $2\times 10^{-4}$ 倍。在我们的测试中，当需要在整个区间或大量点上求反函数值时，该方案比牛顿-拉夫森法快得多，示例中执行时间缩短为原来的 $10^{-4}$ 到 $10^{-3}$ 倍。对于开普勒方程及容差 $10^{-6}$ rad，当点数 $N\ge 2$ 时该算法均优于牛顿法。