球面上向量场的不变超平面截口

设$S_{p,q}$为$\mathbb{R}^{p+q+1}$中由下式定义的超曲面：$$S_{p,q} := \left\lbrace (x_1,\ldots,x_{p+1},x_{p+2},\ldots,x_{p+q+1}) \in \mathbb{R}^{p+q+1} \big| \left( \sum_{i=1}^{p+1} x_i^2 - a^2 \right)^2 + \sum_{j=p+2}^{p+q+1} x_j^2 = 1 \right\rbrace,$$其中$a > 1$。我们证明$S_{p,q}$同胚于乘积$S^p \times S^q$。我们对$S_{p,q}$上所有一次和二次多项式向量场进行了分类。我们考虑在$\mathbb{R}^{p+q+1}$中保持$S_{p,q}$不变的多项式向量场$\mathcal{X} = (R_1,...,R_{p+1},R_{p+2},...,R_{p+q+1})$。然后我们研究当$p>1$或$q>1$时，向量场$\mathcal{X}$在$S_{p,q}$上某些不变代数子集的个数。