球面上三次向量场的不变圆与相图

本文刻画并研究球面上三次向量场的动力学性质，$\mathbb{S}^2 = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 ~|~ x^2+y^2+z^2 = 1\}$。我们首先对 $\mathbb{S}^2$ 上所有三次多项式向量场进行分类，并确定其中哪些构成 Kolmogorov 系统。接着，我们证明 $\mathbb{S}^2$ 上存在完全可积的三次向量场，并研究 $\mathbb{S}^2$ 上齐次三次向量场各类不变圆的最大数量。我们在每种情形下找到紧界。此外，我们还讨论了 $\mathbb{S}^2$ 上某些三次 Kolmogorov 向量场的相图。