Teichm"uller 理论简介及其在区间交换变换、曲面流和台球动力学中的应用

本文是作者在 Bedlewo 学校"现代动力学及其与分析、几何和数论的相互作用"（2011 年 7 月 4 日至 16 日）举办的迷你课程（与本文标题相同）讲义的扩展版本。在本文的第一部分，即第 1 至 5 节，我们讨论了平移曲面的 Teichm"uller 空间和模空间、Teichm"uller 流以及这些模空间上的 SL(2,R) 作用，以及 Teichm"uller 测地流上的 Kontsevich-Zorich 上循环。我们概述了 Teichm"uller 流和 Kontsevich-Zorich 上循环关于 Masur-Veech 测度的遍历性质在典型区间交换变换和平移流的唯一遍历性、遍历平均偏差和弱混合性质方面的两个应用。这些应用基于一个基本事实，即 Teichm"uller 流和 Kontsevich-Zorich 上循环作为区间交换变换和平移流的\emph{重整化动力学}起作用。在第二部分，即第 6 至 9 节，我们首先指出，鉴于在研究有理多边形中的台球（例如）等方面的潜在应用，研究 Kontsevich-Zorich 上循环关于 Masur-Veech 测度以外的不变测度的遍历性质是有趣的。随后，我们研究了一些测度的例子，在这些例子中 Kontsevich-Zorich 上循环的遍历性质与 Masur-Veech 测度的情况非常不同。最后，我们通过构造一些闭 SL(2,R) 轨道的例子来结束这些笔记，使得 Teichm"uller 流限制在这些轨道上具有任意小的指数混合率，或者等价地，自然关联的酉 SL(2,R) 表示具有任意小的谱隙（特别是具有补系列）。