圈量子引力导论：霍尔斯特作用量与协变形式

我们回顾了霍尔斯特形式，并讨论了其与标准广义相对论（在4维中）的动力学等价性。霍尔斯特形式是针对时空$M$上的自旋余框架场$e^I_\mu$和$Spin(3,1)$-联络$\omega^{IJ}_\mu$写出的，并且依赖于霍尔斯特参数$\gamma\in \mathbb{R}-\{0\}$。我们证明该模型在动力学上等价于标准广义相对论，即：在框架指标上逐点进行$Spin(3,1)$-规范变换的意义下，两个模型的解一一对应。因此这两个模型在经典上是等价的。还可以通过将自旋联络分解为一对$Spin(3)$-联络$A^i_\mu$和$Spin(3)$-值1-形式$k^i_\mu$来引入新变量。这些新变量的构造依赖于一种称为约化分裂的特定代数结构。约化分裂是一种比要求规范群分裂为两个子群的乘积更弱的结构（正如欧几里得符号下由Ashtekar在此背景下最初引入的自对偶形式中所发生的那样），并且它仍然允许处理洛伦兹符号而无需诉诸复化。$SL(2, \mathbb{C})$的约化分裂不是唯一的，它由一个实参数$\beta$参数化，称为伊米尔齐参数。这里分裂是在时空上进行的，而不是在空间上，以获得$Spin(3)$-联络$A^i_\mu$，称为时空上的巴贝罗-伊米尔齐联络。我们得到了一个依赖于场$(e^I_\mu, A^i_\mu, k^i_\mu)$的协变模型，该模型再次在动力学上等价于标准广义相对论（以及霍尔斯特作用量）。通常，在文献中为简单起见设$\beta=\gamma$。这里我们保持霍尔斯特参数和伊米尔齐参数不同，以表明最终只有$\beta$会出现在边界场方程中。