面向复杂黎曼流形的内在度量物理信息神经网络（IM-PINN）用于反应扩散动力学

在复杂非欧几里得流形上模拟非线性反应扩散动力学是计算形态学中的根本挑战，受高保真网格生成成本和离散时间步进方案中耗散问题的制约。本研究引入内在度量物理信息神经网络（IM-PINN），一种无网格的几何深度学习框架，直接在连续参数域中求解偏微分方程。通过将黎曼度张量嵌入自动微分图中，该架构解析重构拉普拉斯-贝尔特拉算子，使解的复杂度从几何离散中解耦。我们在高斯曲率波动极大的“Stochastic Cloth” 流形上进行验证（$K \in [-2489, 3580]$），其中传统自适应细化无法解决各向异性 Turing 不稳定性。采用包含傅里叶特征嵌入的双流体系结构来缓解谱偏差，IM-PINN 复原了 Gray-Scott 模型的“分裂斑点”和“ labyrinthine” régimes。与基于曲面有限元方法（SFEM）进行基准测试，IM-PINN 在物理严谨性方面取得优势：其全局质量守恒误差为 $\mathcal{E}_{mass} \approx 0.157$，远低于 SFEM 的 $0.258$，充当消除半隐式积分中固有质量漂移的热力学一致的全局求解器。该框架提供了一种内存高效、与分辨率无关的范式，用于模拟演化表面的生物图案形成，桥接了微分几何与物理信息机器学习。