本征调和空间：古老完美调音问题的一个解

在本文中，我们解决了各调性下完美调音这一古老问题，并给出了一个同时保全所有和声的系统。当我们揭示我们的解法时将会清楚，为何此前音乐家与科学家所采取的路径无法找到此解。我们确实遵循了一条不同的路径。我们首先借助向量空间构造完整和声的数学表示，其中不同音以对所有调性同时完全调和的方式表示。与早期系统的本质区别之一在于，音不再被约束在一个八度内排序，而我们发现类八度排序作为我们系统的一个投影而回归。但恰是通过此投影过程，同时构建所有调性调和系统的可能性丧失了。因此我们明白了旧有的八度内音排序方式为何不能导向问题的解。我们指出了可构建实现该调和方案的真实乐器的方式。由于音不再约束于八度内，此类乐器将相当非传统。然而它至少对毕达哥拉斯和声而言是一种物理可实现的乐器。我们也指出了计算机如何能实现任意维度的完美和声。