贪心 Tamari 偏序集中的区间

我们考虑定义在 $m$-Dyck 路径上的 $m$-Tamari 序的一个贪心版本,该版本最近由 Dermenjian 引入。受普通 1-Tamari 序中区间与平面三角剖分之间有趣联系的启发,更一般地受普通 $m$-Tamari 序中计数区间存在简单公式的启发,我们研究了固定大小的 $m$-Dyck 路径上贪心序中的区间个数。我们再次发现了一个简单公式,该公式也计数称为 $(m+1)$-constellations 的某些平面地图(具有规定大小)。例如,当 $m=1$ 时,长度为 $2n$ 的 1-Dyck 路径上贪心序中的区间个数被证明为 $\frac{3\cdot 2^{n-1}}{(n+1)(n+2)} \binom{2n}{n}$,这也是具有 $n$ 条边的二部地图的个数。我们的方法是递归的,并使用了一个“催化”参数,即区间上路径最终下降的长度。所得的双变量生成函数对所有 $m$ 都是代数的。我们表明同样的方法也可用于计数普通 $m$-Tamari 格中的区间。因此我们重新得到了第一位作者、Fusy 和 Pr\'eville-Ratelle 的早期结果,他们当时使用了不同的催化参数。