无阻尼受迫振荡器中干涉辅助的有限共振响应

我们将微扰技术应用于共振下的无阻尼受迫正弦振荡器。角位移 $\theta$ 满足动力学方程 $\Ddot{\theta} + \omega^{2} \sin{\theta} = H\cos{\omega t}$。线性化近似给出(长时间下)发散的响应,但非线性项使响应保持有限。我们通过分别处理短时间尺度和长时间尺度两种方式来解决非线性引起的有限性。在长时间下,我们使用传统微扰技术提取两种依赖于驱动的行为——其一,振荡幅度按 $(H/\omega^{2})^{1/3}$ 缩放;其二,慢模的周期按 $(H/\omega^{2})^{-2/3}$ 变化。另一方面,对于早期时间行为,我们设计了一种替代的微扰展开,其中逐项随展开阶次增大但符号交替。这些项之间的交替符号(相位差)导致了一种类似相消干涉的效应。仔细考虑这些逐项之间类似相消干涉的效应,得到了一个有限的响应,该响应相当正确地描述了响应的幅度在初始阶段的行为。我们进一步注意到,对于较大的驱动值,系统似乎经历一种一阶过渡行为,其最大李雅普诺夫指数发生突变。