重塑交互方界面界面的相互作用

多项式函子用于建模具有界面的系统：每个多项式指定系统可产生的输出，以及针对每个输出，系统接受的输入。动态组织的双范畴 $\mathbb{O}\mathbf{rg}$ \cite{spivak2021learners} 提出一种状态驱动的交互模式，可随时间演化，但每个系统的界面在整个交互期间保持不变。然而，在许多系统中，所发送的输出和接收到的输入可以重新塑造界面本身：细胞因化学信号而分化，获得或失去受体；因其输入而损坏的传感器失去一个通道；神经网络可能在训练期间增大其输出分辨率。为建模此类系统，我们引入*多项式树*，即终端 $(u\triangleleft u)$-共轭中的元素，其中 $u$ 为集合宇宙关联的多项式：多项式树是一棵共归树，其节点承载多项式，且每一轮交互——所选择的输出和接收到的输入——决定一个子树，从而决定下一个界面。我们构建了具有共归定义态手段、张量积和内部同态的单纯封闭范畴 $\mathbf{PolyTr}$。随后，我们构建双范畴 $\mathbb{O}\mathbf{rgTr}$ 对 $\mathbb{O}\mathbf{rg}$ 进行泛化，其 Hom 类按状态集参数化 morphisms，包含共归作用与更新数据。我们通过常数树提供一个局部全忠函子 $\mathbb{O}\mathbf{rg}\to\mathbb{O}\mathbf{rgTr}$，其中树的界面随时间不变。我们通过建议一种渐进式生成对抗网络的概念来展示该泛化：梯度反馈决定图像生成界面是否提升至更高分辨率。