交互 Hopf 代数：线性系统理论

作为首要贡献，本论文刻画了域 k 上线性子空间的 PROP SVk——这是出现在多个研究领域中电路图的一个重要解释域。我们通过生成元与方程给出了自由模型为 SVk 的字符串图 PROP IH。IH 代表交互 Hopf 代数：其方程源于 Hopf 代数之间的分配律，我们使用 Lack 组合 PROP 的技术得到它们。该结果的意义有两方面。首先，它为线性代数提供了规范的图示语法：线性映射、核、子空间等都在图语言中忠实表示。其次，IH 的方程描述了熟悉的代数结构——Hopf 代数与 Frobenius 代数——它们处于看似多样的图形式（如量子电路、信号流图、简单电路与 Petri 网）的核心。我们的刻画阐明了这些公理的来源并揭示了其线性代数本质。我们的第二大贡献是将 IH 应用于信号处理电路的语义。我们发展了信号流图的形式化理论，具有图式电路语法、结构化操作语义与指称语义。我们证明了 IH 方程对指称等价性的完备性。此外，我们研究完全抽象：结果表明纯操作图景过于具体——两个指称相等的图可能展现不同的操作行为。我们对发生此现象的方式进行分类，并证明任何图都可实现——使用 IH 的方程重写——为可执行形式，其中操作行为与指称重合。该可实现性定理引发了对信号流图以及更一般地计算设备语义中因果性作用的反思。