关于 Hurst 指数 $H$ 大于 1/2 的分数局部时的积分

设 ${\mathscr L}^H(x,t)=2H\int_0^t\delta(B^H_s-x)s^{2H-1}ds$ 为 Hurst 指数为 $1/2<H<1$ 的分数布朗运动 $B^H$ 的加权局部时。本文中，我们使用 Young 积分研究确定性函数的积分 $\int_{\mathbb R}f(x){\mathscr L}^H(dx,t)$。作为应用，我们研究了由 $$[f(B^H),B^H]^{(W)}_t:=\lim_{n\to \infty}2H\sum_{k=0}^{n-1} k^{2H-1}\{f(B^H_{t_{k+1}})-f(B^H_{t_{k}})\}(B^H_{t_{k+1}}-B^H_{t_{k}})$$ 定义的加权二次协变，其中极限依概率一致且 $t_k=kt/n$。我们证明其存在且 $$[f(B^H),B^H]^{(W)}_t=-\int_{\mathbb R}f(x){\mathscr L}^H(dx,t),$$ 只要 $f$ 具有有界 $p$-变差且 $1\leq p<\frac{2H}{1-H}$。此外，我们将此结果推广至时间依赖的情形。这些结果使我们能够针对新的函数类写出分数 It\^{o} 公式。