Rota-Baxter Lie 代数的积分与几何化

本文首先引入李群上（权为 $1$ 的）Rota-Baxter 算子概念，使其微分给出相应李代数上的 Rota-Baxter 算子。李群的直接乘积，包括 Iwasawa 与 Langlands 分解，携带自然的 Rota-Baxter 算子。李群上 Rota-Baxter 算子的形式逆恰为该李群上的交叉同态，其切映射为李代数上权为 $1$ 的微分算子。我们证明了 Rota-Baxter 李群的一个分解定理，直接在李群层面导出 Semenov-Tian-Shansky 在其可积系统研究中著名的全局分解定理。作为几何化，引入 Rota-Baxter Lie 代数胚与 Rota-Baxter Lie 群胚的概念，前者为后者的微分。进一步，Rota-Baxter Lie 代数胚自然导出 post-Lie 代数胚，推广了 Rota-Baxter Lie 代数与 post-Lie 代数间的已知事实。我们表明 Rota-Baxter Lie 代数或 Rota-Baxter 李群的几何化可通过其在流形上的作用实现。并为这些新概念提供了例子与应用。